What is Expected Value?#

在賭博的例子中 , 期望值意指:

如果玩家多次投注同一個賠率 , 他預期(平均)可贏得或失去的金額

Formula#

簡單來說就是 : 期望值=事件報酬$\times$事件發生機率

Meaning#

在賭博當中:

如果$E(X)>0$ , 代表當投注量達到一定值的時候,平均贏得$E(X)$

如果$E(X)=0$ , 代表平手

如果$E(X)<0$ , 代表當投注量達到一定值的時候,平均輸了 $|E(X)|$

Examples#

• 猜硬幣

  丟兩個均勻硬幣，若兩面皆正面得15元，一正一反得6元，皆為反面輸20元

  總共四種情況:

  A	B
  正	正
  正	反
  反	正
  反	反

  	$X(\omega)$	$P(\omega)$
  都正	$15$	$\frac{1}{4}$
  一正一反	$6$	$\frac{1}{2}$
  都反	$-20$	$\frac{1}{4}$

  得到$E(X) = 15\times\frac{1}{4} + 6\times\frac{1}{2}-20\times\frac{1}{4}=1.75$

• 丟球

  • 組合數學

  從$r$個元素取出$n$個，組合數量為:

  $\mathrm{C}_{n}^{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}$

  其中!是階乘 , $n!=n\times(n-1)\times(n-2)…1$

  • 問題

  五個球隨機丟入三個箱子，求空箱數量的期望值?

  	$P(\omega)$	$X(\omega)$
  兩隔空箱	$\frac{3}{343}$	$2$
  一個空箱	$\frac{\mathrm{C}_{2}^{3}(2^{5}-2)}{243}$	$1$
  零個空箱	不用算	$0$

  得到$E(X)=\frac{3}{343}\times2+\frac{\mathrm{C}_{2}^{3}(2^{5}-2)}{243}\times1+0=\frac{32}{81}$

Cash winfall#

假設頭獎為100萬，一張2元彩券的期望值如下:

$E(X)=\frac{1000000}{9300000}+\frac{4000}{39000}+\frac{150}{800}+\frac{5}{47}+\frac{2}{6.8}\approx 0.798$

平均2元換到0.798元，根本不值

不過，遊戲還有另一項規則down

如果頭獎累積超過200萬又沒人對中，個個獎項會開始roll down

以某一天舉例

頭獎接近300萬元，當然，沒有人中獎，獎金開始roll down:

對中5碼和3碼的獎金多增加60萬元，對中四碼增加140萬元

重新計算期望值:

$E(X)=5.53$

暴利的開始#

麻省理工大四學生Jamse Harvey在做一項獨立研究:分析麻州各彩券的優劣

無意間就發現了這個讓人暴利的工具

他拉了一票人集資了$1000，最終賺得$3000

分一杯羹#

另一個集團來自波士頓區東北大學的Ying Zhang博士組成

再分一杯羹#

另一個集團由Grerald Selbee領導GS Investment Strategies LLC的小團隊

他們的故事最終被翻拍成電影Jerry & Marge Go Large

為何持續了這麼久?#

cash winfall運營了約七年的時間，過程中也有人發現了這項漏洞

能運營下去的原因有幾點:

1. 並未普及

2. 政府照樣賺

https://www.mass.gov/doc/letter-to-state-treasurer-steven-grossman-regarding-the-lottery-july-2012/download

what do u think#

如果他全靠猜的，狀況如下:

每支股票不是漲，就是跌

每一筆猜測成立的機率為50%

連續十週都猜對的機率為:

$(\frac{1}{2})^{10}=\frac{1}{1024}\approx 0.097\%$

機率幾乎為0

所以，他一定知道甚麼市場的內幕

maybe…#

如果說，他持有10240件這樣的信件，那情況會是甚麼樣的呢?

https://drive.google.com/file/d/1U-QV11IUjAjvOSI3PisDnJfgFnj3BOgO/view?usp=sharing

就會有10個幸運兒被騙了（；´д｀）ゞ

https://www.youtube.com/watch?v=zv-3EfC17Rc&ab_channel=DerrenBrown

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